XIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

Año: 1996

Primer nivel

1. Resolver el crucigrama numérico colocando un dígito en cada casilla

Horizontales
B: número de dos cifras igual a la suma de los dígitos de B vertical.
E: número de tres cifras igual a A vertical + B horizontal + C vertical

Verticales
B: número de tres cifras múltiplo de 99.
C: número de tres cifras que es el cuadrado de D horizontal.

2. En un triángulo ABC que tiene <B=37o y <C=38o se marcan los puntos P y Q en el lado BC de manera tal que <BAP = <PAQ = <QAC. Se traza por B una paralela a AP y se traza por C una paralela a AQ, que corta a la anterior en D. Calcular <DBC.

3. En un hotel de Bahía hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el comedor y el salón de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de la que hay en el comedor; en la recepción hay un octavo de las que hay en el salón.

Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la recepción hay un sexto de las que quedan en el comedor. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?

 

Segundo nivel

1. Hallar todos los naturales de dos cifras tales que al elevarlos al cubo se obtienen números que terminan en dos cifras iguales.

2. Sean ABCD un rectángulo, M punto medio del lado BC, N punto medio del lado CD y P el punto de intersección de DM y BN. Se sabe que <BPM = 31o y que <DAN = 26o. Calcular <BAM.

3. En un polígono regular de n vértices numerados de 1 a n, hay tres personas: A, B y C paradas en el vértice 1. En un momento dado, ellas comienzan a caminar por los lados.

A camina en el sentido de la numeración de los vértices ( 1 -> 2 -> 3 -> ...) y B y C lo hacen en sentido contrario. A se cruza con B por primera vez en un vértice y con C dos vértices mas adelante. Se sabe que A camina el doble de rápido que B y B el doble de rápido que C. ¿Cuántos vértices tiene el polígono y en que vértices ocurren los encuentros?

 

Tercer Nivel

1. Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de 2 pisos se usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes.

¿Cuántos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos?

2. Hay que asignar a los vértices de un decágono regular números naturales distintos de modo que se cumpla la siguiente propiedad: la suma de los cuadrados de los números de dos vértices consecutivos siempre es igual a la suma de los cuadrados de los números de los vértices opuestos.

Completar los vértices que faltan.

3. En una circunferencia de centro O, AB es un diámetro y P un punto de AB que dista 9 cm. de O. Se trazan dos cuerdas perpendiculares a AB que miden 18 cm y 14 cm respectivamente, dejan a O entre ambas y distan 8 cm entre si.

Calcular la medida de la cuerda paralela a las otras que pasa por P.