XIV Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

Año: 1997

Primer nivel

1. Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65x1y que son múltiplos de 12.

2. Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura.

Se sabe que <ABC = <CDX y <CBD = <CDB. Calcular <ABC.
(<ABC significa "el ángulo ABC")

3. Iván cobra en un banco un cheque por $2700 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de billetes de $10, 20 veces esa cantidad de billetes de $20 y el resto en billetes de $50. ¿Cuántos billetes de cada clase le entrega el cajero?

 

Segundo nivel

1. Un auto viaja de A a C a velocidad constante de 90 kilómetros por hora. En el camino entre A y C pasa por B. Cuando son las 8hs de la mañana ha recorrido 1/4 de la distancia entre A y B y cuando son las 10 de la mañana ya ha recorrido 3/4 del camino entre B y C. Calcular la distancia entre A y C.

2. Si se escribe 1997 y a continuación el año en que nació Fernando, se obtiene un número de ocho cifras que es un cuadrado perfecto. Con esta información, hallar todos los años tales que el año es múltiplo de la edad que cumple Fernando ese año.

3. Sea ABCD un rectángulo con AB = 30 y BC = 16. Si E y F son puntos en los lados AB y CD, respectivamente, tales que el cuadrilátero AFCE es un rombo, calcular la medida de EF.

 

Tercer nivel

1. Un grupo de amigos se reparten en partes iguales 994 monedas de 1 peso, hasta que lo que sobra no alcanza para darle una moneda más a cada uno. Si el grupo tuviera una persona más, la cantidad sobrante no habría variado. Lo mismo ocurre si el grupo tuviera dos personas más.
Decidir si con esta información se puede determinar, sin ambigüedades, el número de personas del grupo. En caso afirmativo, dar ese número. En caso negativo, explicar por qué.

2. El triángulo ABC tiene AB = 20, BC = 28 y <ABC = 135o. Si H es el pie de la altura trazada desde A y M es el punto medio de AC, calcular la medida de HM.

3. Hallar todos los valores de x que son soluciones de la ecuación