PRIMER NIVEL

1)      El triángulo ABC tiene ^C=90°, AC=20, AB=101. Sea D el punto medio de CB. Hallar el área del triángulo ADB.

2)    Un triángulo equilátero se divide en cuatro triangulitos equiláteros iguales (ver figura). Quedan determinados 9 segmentos que son lados de triangulitos.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triangulitos, sin repeticiones, de modo que la suma de los tres números correspondientes a cada triangulito sea siempre la misma.

 

3)     Con los dígitos1, 2, 3, 4, 5, 6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal que el número de tres cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el número de tres cifras def sea múltiplo de 11

SEGUNDO NIVEL

1)      En una recta se marcan los puntos A y B tales que AB=5cm. Una pulga se mueve sobre la recta y en cada salto se desplaza 1cm a derecha o a izquierda. La pulga quiere ir de A hasta B en exactamente 9 saltos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

2)      Sea ABCD un cuadrado de lado 28. Se considera el punto P interior al cuadrado y el punto E en el lado CD tales que PE es perpendicular a CD y AP=BP=PE. Hallar AP.

3)      Pablo colecciona monedas de España, Francia y Grecia. Tiene monedas de 5 centavos, de 10 centavos y de 50 centavos, y tiene en total menos de 100 monedas.
El lunes vendió tres monedas de Francia y compró tres de España, pero con los mismos valores que tenían las que vendió.
El martes vendió seis monedas de 10 centavos y compró seis monedas d 5 centavos pero exactamente de los mismos países que las que vendió.
En su nueva colección:

• La cantidad de monedas de España es igual a la cantidad de monedas de Francia e igual al triple de la cantidad de monedas de Grecia.
• La cantidad de monedas de 5 centavos es igual a la cantidad de monedas de 10 centavos e igual a seis veces la cantidad de monedas de 50 centavos.

¿Cuántas monedas de cada país tenía la colección inicial de Pablo y cuántas monedas de cada valor tenía la colección inicial de Pablo?

TERCER NIVEL

1)      Hallar todos los números enteros n tales que (n+98)/(n+19) es un número entero.

      ATENCIÓN: Los números enteros son {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

2)      En el triángulo isósceles ABC (con AB=AC), sean P y Q en AB y AC, respectivamente, tales que PQ es paralelo a BC. La altura desde A intersecta a PQ en O y a BC en M.
Si AP = 64 y

 hallar AB.

3)      Sean x, y, números reales tales que x + y = 26,  x³ + y³ = 5408. Hallar x² + y².