Intercolegial 2004

PROBLEMAS INTERCOLEGIAL OMA 2004

Primer Nivel

1. Distribuir en los círculos los números de tres dígitos 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, sin repeticiones, de modo que los números escritos en círculos que están unidos entre si por un segmento no tengan más de una coincidencia (es decir, pueden tener exactamente una coincidencia o no tener coincidencias).


2. Hallar todos los números enteros positivos de cuatro cifras que son múltiplos de 11 y tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.


3. Se considera una circunferencia de centro O y se traza un diámetro AD. El punto C de la circunferencia es tal que el ángulo CAD = 44º. Se traza por O la recta perpendicular a la cuerda AC que corta a la circunferencia en el punto B. Sea F el punto de intersección de AC y BD. Calcular la medida del ángulo CFD.

Segundo Nivel

1. Escribir en cada vértice un número entero del 1 al 12 inclusive, sin repeticiones, de modo que en cada uno de los 5 cuadrados la suma de los cuatro números de sus vértices sea la misma
2. Para recorrer el camino entre A y B el tren de pasajeros tarda 7 horas y el tren de carga tarda 5 horas. A las 8.00 hs sale un tren de pasajeros de A hacia B y un tren de carga de B hacia A. A las 9:45 hs la suma de las distancias recorridas por los dos trenes hasta ese momento es igual a 357 kilómetros. Calcular la longitud del camino que separa a los trenes entre si a las 9:45 hs.

3. La figura muestra un tablero de 4x6
    dividido en casillas de 1x1 en el que
    se dibujó un rectángulo de 3x4
    (siguiendo líneas de la cuadrícula) y
    se trazó una diagonal. Calcular el
    área sombreada.

Tercer Nivel

1. Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos: 10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24. Calcular cuánto pesa cada uno de los cinco objetos.

2. Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un múltiplo de 5.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB = 120 y AC = 72. Se considera el punto P de AB tal que 3 BP = AB y el punto Q de BC tal que PQ es perpendicular a AB. Calcular el área del cuadrilátero APQC.