XIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

Año: 1996

Primer nivel

1. El desarrollo decimal de 1 / 97 tiene un período muy largo. Hallar las tres últimas cifras del período.

2. Un auto viaja a 60 km/h si va cuesta arriba, a 90 km/h si va cuesta abajo y a 72 km/h en los demás casos. Tarda 5 horas para ir de A a B y 4 horas para volver de B a A. ¿Qué longitud tiene el camino entre A y B?

3. En un triángulo ABC, C = 45º, Q es el pie de la altura correspondiente al vértice B y M es el punto medio del lado AB.

Sea P en el lado BC tal que PM es perpendicular a QM. Decidir si para algún valor del ángulo A se verifica que   

4. Sea ABC un triángulo de área 7. Se construye el triángulo XYZ de la siguiente manera: se prolonga el lado AB de modo que AXS = 2AB, se prolonga el lado BC de modo que BY = 3BC y se prolonga el lado CA de modo que CZ = 4CA. Hallar el área del triángulo XYZ.

5. Inicialmente hay un "1" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por 3 el número de la pantalla. Al apretar la tecla B, se resta 1 al número de la pantalla. Utilizando una secuencia de teclas A y B hay que llegar a tener en la pantalla el 97. ¿Cuál es el número mínimo de teclas que se deben usar?

6. En la lotería de Truchilandia, cada billete tiene un número de tres cifras que usa sólo los dígitos 1, 2, 3 y 4 (se pueden repetir los dígitos). Un billete es ganador si coincide en por lo menos dos posiciones con el número sorteado.
Un apostador quiere comprar varios billetes, de manera tal que uno de ellos gane seguro, pero gastando lo menos posible. Determinar cuántos billetes debe comprar e indicar qué billetes debe comprar.
Aclaración: Si se sorteó el 423 entonces 123 es un billete ganador, pero 243 no lo es.

 

Segundo nivel

1. Dado un conjunto de diez números enteros positivos no necesariamente distintos, se realizan las siguientes diez operaciones: se descarta el primero y se suman los nueve restantes, se descarta el segundo y se suman los nueve restantes y se sigue así hasta descartar el último y sumar los nueve restantes. De esta manera se obtienen sólo nueve resultados distintos, que son 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 96. Hallar los diez números iniciales.

2. Un trapecio inscrito en una circunferencia de radio r tiene tres lados de longitud s y el cuarto de longitud r + s, con s < r. Hallar las medidas de los ángulos del trapecio.

3. En un tablero de 15 x 15 Toni escribe todos los números enteros de 1 hasta 225, en ese orden, uno en cada casilla, con el siguiente procedimiento:

En cada paso, elige la casilla en la que escribirá el número que corresponde a ese paso y antes de escribir ese número, suma los números que ya están escritos en la fila y en la columna de la casilla elegida y anota el resultado en el pizarrón; recién entonces escribe el número que le toca en la casilla.

Cuando termina de colocar los 225 números, se suman todos los números anotados en el pizarrón. Indicar un procedimiento para completar el tablero de modo que la suma del pizarrón sea la menor posible.

4. En el triángulo rectángulo ABC, B = 90o, AB = 3, BC = 4, AC = 5. Sea O el baricentro del triángulo, es decir, el punto de intersección de las medianas y sean A', B', C' puntos en los lados BC, AC, AB respectivamente, tales que OA' es perpendicular a BC, OB' es perpendicular a AC y OC' a AB. Hallar el área del triángulo A'B'C'.

5. Se escriben ocho números naturales distintos, uno en cada uno de los vértices de un cubo y luego, en cada arista se escribe el máximo común divisor de los números escritos en los vértices correspondientes. Es posible elegir los ocho números iniciales de manera que su suma sea igual a la suma de los 12 números de las aristas?

6. Martín tiene la lista de todos los números naturales de 25 cifras que se pueden formar utilizando sólo los dígitos 1, 2, 3, 4 y tienen igual cantidad de dígitos "1" que de dígitos "2", por ejemplo, 3333333333333333333333333, 1111111111114222222222222, etc.

Jorge tiene la lista de todos los números naturales de 50 cifras formados por 25 dígitos "1" y 25 dígitos "2".

Demostrar que la lista de Martín tiene la misma cantidad de números que la de Jorge.

 

Tercer nivel

1. Se escribieron 100 números alrededor de una circunferencia. La suma de los 100 números es igual a 100 y la suma de seis números consecutivos es siempre menor o igual que 6. El primer número es 6. Hallar todos los números.

2. Decidir si existe algún número de 10 cifras tal que reordenando 10000 veces sus dígitos se obtengan 10000 números distintos que sean múltiplos de 7.

3. El hexágono no regular ABCDEF está inscrito en una circunferencia de centro O y AB = CD = EF. Si las diagonales AC y BD se cortan en M, las diagonales CE y DF se cortan en N y las diagonales AE y BF se cortan en K, demostrar que las alturas del triángulo MNK se cortan en O.

4. Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD, DA y centro O tal que BAD < 90º y AOB > 90º. Consideremos A1 y B1 puntos de las semirrectas OA y OB respectivamente, tales que A1B1 es paralelo a AB y   .   Demostrar que A1D es perpendicular a B1C.

5. Determinar todos los números reales positivos x para los que se verifica

Aclaración: los corchetes indican la parte entera del número que encierran; por ejemplo, [2,16] = 2, [5] = 5, []=1.

6. En un torneo de tenis de 10 jugadores, todos jugaron contra todos una vez. En este torneo, si el jugador i ganó el partido contra el jugador j, entonces la cantidad total de partidos que perdió i más la cantidad total de partidos que ganó j es mayor o igual que 8.
Diremos que tres jugadores i, j, k forman un trío atípico si i le ganó a j, j le ganó a k y k le ganó a i.
Demostrar que en el torneo hubo exactamente 40 tríos atípicos.