XIX Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

Año: 2002

 

Primer Nivel

 

Problema 1

Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos 1, 2 y 3 (el menor es el 111111111 y el mayor es el 333333333). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de 19683 tarjetas.

David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito.

Si David tiene el 133221311 y Juan tiene el 133211311, determinar cuál de los tres chicos tiene el 123123123.

 

Problema 2

En el triángulo ABC sean M en el lado AB tal que AM = 2BM y N el punto medio del lado BC. Denotamos O al punto de intersección de AN y CM. Si el área del triángulo ABC es igual a 30, calcular el área del cuadrilátero MBNO.

 

Problema 3

En la casa de Gabriel son muy metódicos. Todos los días hábiles la mamá sale en su moto a la misma hora, a la misma velocidad y por el mismo camino a buscar a Gabriel al colegio. Llega al colegio exactamente a las 12 horas y de inmediato regresa a su casa con Gabriel, por el mismo camino y a la misma velocidad. Por supuesto, todos los días llegan a la casa exactamente a la misma hora.

Un día, Gabriel salió del colegio más temprano, y a las 11 horas y 15 minutos inició la caminata hacia su casa. En el camino se encontró con su mamá, que lo estaba yendo a buscar al colegio, como todos los días. En cuanto se encontraron, regresaron de inmediato a la casa, y llegaron 20 minutos más temprano que lo habitual.

Determinar cuántos minutos más temprano que lo habitual hubiesen llegado a la casa si Gabriel comenzaba la caminata a las 11 horas y 33 minutos.

NOTA: Gabriel, que también es metódico, camina siempre a la misma velocidad.

 

Problema 4

Consideramos los números naturales n de tres cifras, todas ellas distintas de cero. Diremos que un número n es bueno si el número n + 1 es múltiplo del número de dos cifras que se obtiene al suprimirle a n la primera cifra de la izquierda (es decir, al suprimirle la cifra de las centenas).

Por ejemplo, 123  NO es bueno, porque 124 no es múltiplo de 23.

Hallar todos los números buenos.

 

Problema 5

Sea ABC un triángulo tal que el ángulo ABC = 2BCA ; además, si D denota al punto del lado BC tal que AD es bisectriz del ángulo CAB , se tiene que CD = AB. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

 

Problema 6

En una caja fuerte hay 128 bolsas con oro, todas con el mismo aspecto, pero todas de distinto peso. El tesorero quiere determinar las dos bolsas más pesadas y para ello dispone de una balanza de dos platos. La única operación permitida es colocar una bolsa en cada plato y de este modo establecer cuál de las dos es más pesada. Decidir si el tesorero puede lograr su objetivo efectuando 133 operaciones permitidas. Si la respuesta es afirmativa, indicar la secuencia de pesadas; si es negativa, explicar el porqué.

 

Segundo Nivel

 

Problema 1

En cada casilla del tablero de 4´4 debe haber un número natural de 1 a 16 inclusive, sin repetir, de modo que la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro filas, la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro columnas y la suma de los cuatro números de cada una de las dos diagonales sean diez números enteros consecutivos, en algún orden. Ya se han escrito nueve de los números. Escribir los siete números que faltan.

4	5	7
6		3
11	12	9
10

 

Problema 2

Una fila de hormigas marchan todas a la misma velocidad por un sendero rectilíneo. La distancia entre la primera y la última hormiga es de 15 metros. La hormiga inspectora recorre la fila comenzando desde la última hormiga, y cuando alcanza a la primera hormiga, regresa hasta encontrar nuevamente a la última hormiga. En el instante en que la encuentra, la última hormiga está exactamente a 8 metros del punto en el que la inspectora inició su recorrido. Determinar qué distancia caminó en total la inspectora durante su recorrido de ida y vuelta.

NOTA: En este problema las hormigas caminan a velocidades constantes.

Problema 3

En el pizarrón había un cuadrilátero ABCD en el que se marcaron los puntos P, Q, R, S en los lados AB, BC, CD, DA, respectivamente, tales que

.

Se borró toda la figura, excepto los cuatro puntos  P, Q, R, S.

Describir un procedimiento que permita reconstruir el cuadrilátero ABCD.

 

Problema 4

Expresar 1/2  como suma de fracciones todas distintas y todas de la forma  1/n² con n un número natural.

 

Problema 5

En una competencia de gimnasia deportiva de 50 participantes, cada participante está identificado con un número del 1 al 50. La competencia tiene 13 jueces, y cada uno de ellos ordena a los participantes de mejor a peor, a su criterio. Luego le asigna 1 punto al mejor, 2 al segundo, ..., 50 al último. Resultó que para cada par de participantes  ( i , j )  , con  i < j, hubo exactamente 6 jueces que opinaron que i es mejor que j. Esto significa que en las puntuaciones de esos 6 jueces, el número asignado a i es menor que el asignado a j, y en las puntuaciones de los restantes 7 jueces el número asignado a i es mayor que el asignado a j.

El puntaje definitivo de cada competidor es la suma de los 13 números que le asignaron los jueces. Decidir si con esta información se puede determinar con certeza el puntaje definitivo de cada uno de los 50 competidores.

Si la respuesta es afirmativa, determinar el puntaje definitivo de cada uno de los 50 competidores; si es negativa, explicar el porqué.

Problema 6

Se tienen en el plano una línea quebrada cerrada y sin entrecruzamientos de m lados y una línea quebrada cerrada y sin entrecruzamientos de n lados. Estas dos líneas quebradas se intersectan en puntos interiores a sus lados (nunca en vértices). Se sabe que en total hay exactamente 102 puntos de intersección entre las dos líneas quebradas. Hallar el mínimo valor posible de m + n.

ACLARACIÓN: Una línea quebrada cerrada de k lados es un polígono de k lados que puede tener ángulos interiores mayores de 180^o.

 

Tercer Nivel

 

Problema 1
En la pantalla de la computadora hay inicialmente escritos dos 1. El programa insertar hace que al apretar la tecla Enter se inserte entre cada par de números la suma de esos números.

En el primer paso se inserta un número y obtenemos 1-2-1; en el segundo paso se insertan dos números y tenemos 1-3-2-3-1; en el tercero se insertan cuatro números y se tiene 1-4-3-5-2-5-3-4-1; etc. Hallar la suma de todos los números que figuran en la pantalla al finalizar el paso número 25.

 

Problema 2

Determinar el menor entero positivo k de modo que la ecuación

2002x + 273y = 200201 + k

tenga soluciones enteras, y para ese valor de k, hallar la cantidad de soluciones ( x , y )   con x, y enteros positivos que tiene la ecuación.

 

Problema 3

En una circunferencia G se considera una cuerda PQ tal que el segmento que une el punto medio del menor arco PQ y el punto medio del segmento PQ mide 1. Sean G₁, G₂ y G₃  tres circunferencias tangentes a la cuerda PQ que están en el mismo semiplano que el centro de G  con respecto a la recta PQ. Además, G₁ y G₃ son tangentes interiores a G  y tangentes exteriores a G₂, y los centros de G₁ y G₃ están en distintos semiplanos con respecto a la recta que determinan los centros de G  y G₂.

Si la suma de los radios de G₁, G₂ y G₃ es igual al radio de G , calcular el radio de G₂.

 

Problema 4

Inicialmente en el pizarrón están escritos en una línea y en algún orden todos los números enteros del 1 al 2002 inclusive, sin repeticiones.

En cada paso se borran el primero y el segundo número de la línea y se escribe al principio de la línea el valor absoluto de la resta de los dos números que se acaba de borrar; los demás números no se modifican en ese paso, y queda una nueva línea que tiene un número menos que la del paso anterior.

Luego de realizar 2001 pasos, queda sólo un número en el pizarrón.

Determinar todos los posibles valores del número que queda en el pizarrón al variar el orden de los 2002 números de la línea inicial (y realizar los 2001 pasos).

ACLARACIÓN: Si el comienzo de la línea inicial es    3  108  11  1021  1 ...
después del primer paso queda                                        105  11  1021  1 ...
después del segundo paso queda                                             94  1021  1 ...
etc.

 

Problema 5

Sea ABC un triángulo isósceles con AC = BC. Se consideran puntos D, E, F en BC, CA, AB, respectivamente, tales que AF > BF y que el cuadrilátero CEFD sea un paralelogramo. La recta perpendicular a BC trazada por B intersecta a la mediatriz de AB en G.
Demostrar que la recta DE es perpendicular a la recta FG.

Problema 6

Sean P₁, P₂, ..., P_n, progresiones aritméticas infinitas de números enteros positivos,  de diferencias d₁, d₂, ..., d_n, respectivamente. Demostrar que si todo número entero positivo figura en por lo menos una de las n progresiones entonces una de las diferencias d_i divide al mínimo común múltiplo de las restantes n-1 diferencias.

 

NOTA:   con  enteros positivos.