PRIMER
DÍA
Problema
1
En
una oficina hay 11 empleados que deben aprender 11 códigos. Para ello
hay un solo instructor que en cada sesión les enseña 2 códigos a 2
personas. Determinar el mínimo número de sesiones necesarias para
que los 11 empleados sepan los 11 códigos e indicar una posible
distribución de empleados y códigos con ese número mínimo de
sesiones. (Un empleado puede asistir a una sesión aunque ya conozca
uno de los códigos.)
Problema
2
Si
a y b
son dos números racionales positivos tales que ninguno de ellos es
entero pero
a + b
es entero, determinar si es posible que a²° + b²°
sea entero. ¿Y
a²' + b²'
?
Problema
3
En
el pizarrón había un trapecio ABCD
de bases AB y CD, en el que se
marcaron los cuatro puntos E,
F, O
y P; E y F son los puntos
medios de los lados no paralelos AD
y BC, respectivamente; O
es el punto de intersección de las diagonales AC
y BD, y P es un punto
arbitrario de la recta AB.
Se borró toda la figura, excepto los cuatro puntos E,
F, O y P. Describir un
procedimiento que permita reconstruir el trapecio ABCD.
SEGUNDO
DÍA
Problema
4
Consideramos
el intervalo [0 , 1]
de la recta real.
Se
colorean de rojo 999 puntos que dividen al intervalo [0 , 1]
en 1000 partes iguales.
Se
colorean de azul 1110 puntos que dividen al intervalo
[0 , 1]
en 1111 partes iguales.
Determinar
la menor distancia entre un punto rojo y un punto azul, y dar todos
los pares de puntos, uno rojo y el otro azul, que están a esa
distancia mínima.
ACLARACIÓN:
[0 , 1]
es el conjunto de todos
los números reales mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1.
Problema
5
Se
tienen 2006 tarjetas, una con cada número entero de 1 a 2006 que se
distribuyen al azar en una hilera, una a continuación de la otra. Dos
jugadores, por turnos, sacan una tarjeta de cualquiera de los dos
extremos de la hilera, a elección del jugador. Cuando se han retirado
todas las tarjetas, se suman los números de las tarjetas que retiró
cada jugador y el que obtiene la suma mayor gana. Determinar para cada
distribución de las tarjetas cuál de los dos jugadores tiene
estrategia ganadora, describir la estrategia y demostrar que es
ganadora.
Problema
6
Sea
Sn
el conjunto de
todos los números de n dígitos
(incluye a los que comienzan con 0). Se dice que cuatro números de
Sn
forman una cuaterna especial
si los números coinciden en todas las posiciones excepto una, en la
cual tienen cuatro dígitos consecutivos. Por ejemplo, {24438, 24448,
24458, 24468} y {06921, 07921, 08921, 09921} son cuaternas especiales
de 5 dígitos.
Determinar,
para cada n, el máximo número de cuaternas especiales que se pueden formar
de modo que ningún número figure en más de una cuaterna.
