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1) Se
tiene una hoja cuadrada de 9x9 cuadriculada en cuadritos de 1x1 . Se
corta la hoja con el objetivo de dividirla en cuadritos de 1x1. Cada
corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula.
2)
Sobre la mesa hay 21 cartas, una con cada uno de los
números enteros desde 1 hasta 21 inclusive. Xavier selecciona 4 cartas y
se las muestra a Ana. Luego Ana le quita a Xavier una carta (la que ella
quiera). Si la suma de los números de las 3 cartas con las que se quedó
Xavier es múltiplo de 3, gana Ana . Si no, gana Xavier. 3) Sea ABC un triángulo tal que ^B= 40º. Se sabe que hay un punto P en la bisectriz del ángulo ^B que satisface que BP = BC y BÂP = 20º. Determinar las medidas de los ángulos  y ^C.
4)
En un concurso cada participante dibujó un tablero
cuadriculado de 99x100 y escribió un “1” o un “– 1” en cada casilla, a
su elección. A continuación, cada participante escribió al costado de
cada fila el resultado de multiplicar los 100 números de esa fila y
debajo de cada columna, el resultado de multiplicar los 99 números de
esa columna. Por último, sumó los 99 resultados de las filas más los 100
resultados de las columnas y obtuvo su número final. 5) Se tiene una bolsa con 99 bolitas de diferentes colores (cada bolita tiene un solo color y se desconoce la cantidad de colores). Si se sacan de la bolsa 21 bolitas al azar, siempre hay cuatro o más de un mismo color. Decidir si es necesariamente cierto que la bolsa contiene 18 o más bolitas de un mismo color. ¿Y 17 o más bolitas de un mismo color? 6) Axel y Franco juegan al siguiente juego. Inicialmente Axel piensa un número natural N. A partir de ahí, en cada jugada, Franco elige 4 números distintos a , b , c , d del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y se los dice a Axel. A continuación Axel anuncia una de las sumas
N + a , N + b , N + c
, N + d, a su elección. (Por ejemplo, si Axel pensó el
2007 y en una jugada Franco elige 1, 3, 4, 6, Axel debe anunciar uno de
los números 2008, 2010, 2011, 2013, a su elección.)
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1) En cada casilla de un tablero de 1x2007 casillas consecutivas hay que escribir un número entero de 1 a 2007, sin repetir números. A continuación se consideran los siguientes 2007 números: el número de la primera casilla de la izquierda; la suma de los números de las dos primeras casillas (desde la izquierda); la suma de los números de las tres primeras casillas; . . . ; la suma de los números de las 2006 primeras casillas y la suma de los números de todas las casillas. Por cada uno de estos 2007 números que tenga resto 5 en la división por 6 se gana 1 peso. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que se puede ganar?
2)
En un país hay 100 distritos electorales, todos con la
misma cantidad de votantes. Cada distrito elige un diputado para el
parlamento nacional entre 3 candidatos que representan a los 3 partidos
políticos A, B y C . A nivel nacional, los partidos A, B y C tienen la
adhesión de exactamente 60%, 30% y 10% de los votantes, pero la
distribución de los adherentes por distrito puede ser arbitraria.
3) Sea ABC un triángulo con  = 45º tal que la bisectriz de Â, la mediana desde B y la altura desde C concurren en un punto. Calcular la medida del ángulo ^B.
4) En el plano hay dibujadas n rectas distintas. Cada una de ellas corta a exactamente otras 2007 de las rectas. Hallar todos los valores de n para los cuales esto es posible.
5) Se tiene un tablero rectangular de 9x2007 dividido en cuadritos de 1x1. Inicialmente todos los cuadritos son blancos. En cada paso se colorean de negro 4 cuadritos blancos que estén en la intersección de dos filas y dos columnas del tablero. Cuando ya no queden 4 cuadritos blancos en la intersección de dos filas y dos columnas del tablero el proceso se detiene ¿Cuántos cuadritos como mínimo quedarán sin colorear? ¿Y si el tablero fuese de 99x2007?
6) De un cuadrado de papel de lado 1 hay que recortar dos triángulos equiláteros iguales. Hallar el máximo valor posible del lado de los triángulos.
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