PRIMER PRETORNEO 2005
JUVENIL
1. Decidir si es
posible ordenar los números enteros desde el 1 hasta 2004 inclusive de manera
tal que la suma de 10 números consecutivos sea siempre múltiplo de 10.
Si la respuesta es sí, decir cuál es el orden. Si la respuesta es no, explicar porqué.
4 PUNTOS
2. Se tiene una bolsa
con 111 bolitas de cuatro colores, verde, rojo, blanco o azul (cada bolita tiene
un solo color). Si se sacan 100 bolitas, al azar, siempre hay entre ellas una de
cada color. Determinar el número mínimo de bolitas que hay que sacar de la
bolsa (sin espiar) para estar seguro de sacar al menos tres de tres colores
diferentes.
5 PUNTOS
3. Alan tiene que
representar al 100 como suma de uno o más enteros positivos o bien todos
iguales o bien tales que la diferencia entre el mayor y el menor sea 1.
Determinar de cuántas maneras puede hacerlo.
ACLARACIÓN: Dos representaciones que
usan los mismos números pero en otro orden se consideran una sola manera.
5 PUNTOS
4. Dadas una recta y
una circunferencia que no se cortan, construir con regla y compás un cuadrado
con dos vértices consecutivos en la recta y los otros dos en la circunferencia,
suponiendo que tal cuadrado existe.
5 PUNTOS
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PRIMER PRETORNEO 2005
MAYOR
1. Maxi tiene que
representar al 1000 como suma de uno o más enteros positivos o bien todos
iguales o bien tales que la diferencia entre el mayor y el menor sea 1.
Determinar de cuántas maneras puede hacerlo.
ACLARACIÓN: Dos representaciones que
usan los mismos números pero en otro orden se consideran una sola manera.
4 PUNTOS
2. Se tiene una bolsa
con 1000 bolitas de tres colores, rojo, blanco o azul (cada bolita tiene un solo
color). Si se sacan de la bolsa 26 bolitas, al azar, siempre hay entre ellas 10
de un mismo color. Determinar el número mínimo de bolitas que hay que sacar de
la bolsa (sin espiar) para estar seguro de sacar al menos 30 de un mismo color.
5 PUNTOS
3. Tres
circunferencias que pasan por un punto X se cortan nuevamente, dos a dos, en A,
B y C, respectivamente. La recta AX corta nuevamente a la tercera circunferencia
en D. De manera similar, las rectas BX y CX definen los puntos E y F,
respectivamente. Demostrar que los triángulos BCD, CAE y ABF son semejantes.
5 PUNTOS
4. Determinar para qué
enteros n es posible ordenar los números enteros desde 1 hasta n inclusive
de manera tal que el promedio de todo grupo de dos o más números consecutivos
no sea nunca entero.
5 PUNTOS