XIII Olimpíada Matemática Argentina

Certamen Provincial
Año: 1996

 Primer nivel

1. Tres rectas dividen a un círculo en 7 regiones (ver figura). ¿Es posible distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 uno en cada región de modo que para cada recta la suma de los números ubicados de un lado de la recta sea igual a la suma de los números ubicados del otro lado de la recta?

2. Sea ABCDE un pentágono que tiene AB=BC=4, CD=DE=EA=2 y CDE=DEA=120^o. Hallar el área del pentágono.

3. Sea N un número de 3 dígitos distintos. Con los dígitos de N se forman todos los posibles números de 2 dígitos distintos; luego se suman todos estos números de 2 dígitos y el resultado es S.
Hallar todos los N tales que S es el doble de N.

 

Segundo nivel

1.

Hay que distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 uno en cada círculo del diagrama de modo que la suma de los 3 números ubicados en tres círculos alineados sea siempre la misma.
¿Qué número es imposible ubicar en el círculo E?

ACLARACIÓN: Los círculos alineados son: ABG, ACF, ADE, DCB, EFG.

2. Sean ABCD un cuadrado, E el punto medio del lado AB, F el punto medio del lado BC y Q el punto de intersección de EC y DF. Si QF=13, hallar las medidas de QC, QE y QD.

3. Hallar el menor múltiplo de 999, mayor que 999, que tiene todos sus dígitos impares.

 

 Tercer nivel

1. Hallar todos los números enteros n de 5 dígitos tales que al suprimir el dígito del medio queda un número m de 4 dígitos que verifica que  n/m  es entero.

2. Por un punto P exterior a una circunferencia C se trazan las dos rectas tangentes; sean Q y R los puntos de tangencia. Sea A un punto en la prolongación de PQ y sea C' la circunferencia circunscripta al triángulo PAR.
La recta AR corta a la circunferencia C en R y en C.
Las circunferencias C y C' se cortan en B y en R.
Demostrar que los ángulos PAR y ABC son iguales.

3. Sea A un conjunto de números enteros entre 100 y 1000 inclusive, tal que sus elementos están en progresión geométrica de razón mayor que 1. ¿Cuál es la máxima cantidad de elementos que puede tener A?
ACLARACIÓN: La razón de la progresión geométrica puede no ser un número entero, por ejemplo, 81, 108, 144, 192, 256 es una progresión geométrica de números enteros y razón 4/3.