XIV Olimpíada Matemática Argentina

Certamen Provincial
Año: 1997

Nivel A

1

Juan arma números de varias cifras con la siguiente condición:
En un mismo número, tantas veces como escribe un dígito, escribe su diferencia con 9.
¿Cuántos de estos números entre 1 y 10000 puede escribir Juan?

2

Matías tiene una cierta cantidad de ladrillos cúbicos todos iguales.
Cuando quiere construir una pared cuadrada, le faltan o le sobran ladrillos. Lo mismo le ocurre si quiere armar un cubo.
Nicolás tiene el doble de ladrillos que Matías y puede construir una pared cuadrada usando todos los ladrillos.
Marcela tiene el triple de ladrillos que Matías y puede armar un cubo usando todos los ladrillos.
¿Cuál es el menor número de ladrillos que puede tener Matías?

3

En el triángulo acutángulo ABC, el lado BC mide 17 cm; el lado AC mide 25 cm y la altura correspondiente al lado AB mide 15 cm.
¿Cuánto mide la altura h correspondiente al lado AC?

Primer Nivel

1

Diego escribió cinco números.
Laura hizo todas las sumas posibles de dos números escritos por Diego y obtuvo los siguientes números:

-17/2  ;  -3/2  ;  -1  ;  1  ;  3/2  ;  4  ;  17/2  ;  11  ;  23/2.

¿Cuáles eran los cinco números que escribió Diego?

2

Hallar todos los cuadrados perfectos que tienen el primer dígito (de la izquierda) igual a 1 y todos los restantes dígitos iguales a 4.

3

Sobre la mesa hay un papel cuadrado de 8cm de lado al que se le ha recortado en una esquina un cuadrado de 1cm de lado. Mariana debe dividir el papel en triángulos todos de igual área. ¿Cuál es el número mínimo de triángulos que tendrá esta división?

Segundo Nivel

1

De un número natural compuesto n se sabe lo siguiente: cada divisor positivo de n, excepto 1 y n, es mayor o igual que n-20 y menor o igual que n-10. Hallar todos los posibles valores de n.

2

En un campamento participan 15 chicos, todos de diferentes alturas. El último día, los 15 deben formarse en una fila de manera tal que al comienzo de la fila estén ordenados de más bajo a más alto y, a partir de un punto, los restantes estén ordenados de mas alto a más bajo. ¿De cuántas maneras se puede formar la fila?
ACLARACIÓN: El primero de la fila no es necesariamente el más bajo de los 15 chicos.

3

El triángulo ABC tiene AB=14, BC=24 y AC=15. Sean M en el lado AB y N en el lado BC tales que la recta MN divide al triángulo en dos formas de igual área y de igual perímetro, Hallar la longitud de AM.

Tercer Nivel

1

Hallar el menor entero positivo a para el cual se verifica que hay 1997 cuadrados perfectos comprendidos estrictamente entre a y 2a.

2

Hallar las primeras 1000 cifras después de la coma de la expresión decimal del número

.

3

Sea ABC un triángulo isósceles de base AB. Con centro en el punto medio de AB se traza la semicircunferencia tangente a los lados de AC y BC del triángulo. Sean P en el lado AC y Q en el lado BC tales que PQ es tangente a la semicircunferencia. Si PA=a y QB=b, hallar la medida de AB en términos de a y b.