XIX Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Provincial

Año: 2002

 

Primer nivel

 

Problema 1.

Fernando y Gabriel viven en la calle del colegio, pero uno hacia el norte y el otro hacia el sur. Un día los dos salieron del colegio a la misma hora y cada uno caminó a su casa, Fernando a 7 km/h y Gabriel a 5 km/h. En el instante en que Fernando llegó a su casa, una moto salió de la casa de Fernando hacia la casa de Gabriel, a 55 km/h. La moto llegó a la casa de Gabriel justo en el momento en el que Gabriel llegó a su casa. Determinar cuál de los dos chicos vive más cerca del colegio.

 

Problema 2.

El triángulo ABC tiene ABC = 57°. Además, el punto E del lado BC y el punto D del

lado AC verifican que BE = AE = DE = DC. Calcular la medida del ángulo ACB.

 

Problema 3.

En el pizarrón están escritos dos números de 10 cifras

x = 1221222111      y = 1211212121.

Utilizando exclusivamente los dígitos 1 y 2, Alex debe escribir números de 10 cifras. Cada número de Alex debe coincidir por lo menos en 7 posiciones con x y también debe coincidir por lo menos en 7 posiciones con y. Determinar cuántos números distintos (de 10 cifras) puede escribir Alex.

 

 

Segundo Nivel

 

Problema 1.

En un torneo de tenis, la cantidad de participantes diestros es el triple que la de zurdos. Cada jugador jugó exactamente un partido contra cada uno de los restantes y la razón entre la cantidad total de partidos ganados por jugadores zurdos y la cantidad total de partidos ganados por jugadores diestros es igual a 4/13. Si se sabe que en el torneo participaron menos de 68 jugadores, hallar el número total de jugadores, y determinar la cantidad de partidos en los que el ganador es zurdo.

 

Problema 2.

En un triángulo ABC de área 9, sean M y N  los puntos medios de los lados AB y AC,

respectivamente, y sea P en el lado BC tal que PC = 1/3 BC. Denotamos O al punto de intersección de PN  y CM. Calcular el área del cuadrilátero BPOM.

 

Problema 3.

Carlos perdió una apuesta con Lucas, y para determinar cuánto dinero le pagará desarrollan el siguiente juego.

En cada casilla de un tablero cuadrado de 6x6 Carlos escribirá un número entero del 1 al 36, sin repetir. A continuación, Lucas elegirá dos casillas adyacentes (que tienen un lado en común), y la suma de los dos números escritos por Carlos en esas casillas será la cantidad de dinero que Carlos le pagará a Lucas.

Carlos quiere pagar lo menos posible y Lucas quiere cobrar lo más posible.

Hallar la cantidad de dinero que Carlos le pagará a Lucas y explicar cómo puede distribuir Carlos los números en el tablero para que sea imposible que Lucas cobre más que esa cantidad.

 

 

Tercer Nivel

 

Problema 1.

En el pizarrón estaban escritos los n números naturales 1, 2, 3,..., n, donde n es par.

Nico borró cuatro números pares consecutivos. El promedio de los números que quedaron escritos es igual a 41,375. Hallar el valor de n y determinar los cuatro números que borró Nico.

ACLARACIÓN: Cuatro números pares a < b < c < d son consecutivos si

b — a = c — b = d — c = 2. 
Ejemplos: 2, 4, 6 y 8 14, 16, 18 y 20.

 

Problema 2.

Consideramos en el plano dos rectas no paralelas y cuatro circunferencias C1, C2, C3 y C4 tales que C1 es tangente a C2, C2 es tangente a C3, C3 es tangente a C4 y además cada una de las dos rectas es tangente a cada una de las cuatro circunferencias. Si el radio de C1 es 1 y el radio de C4 es 4, determinar los radios de C2 y de C3.

 

Problema 3.

Un albañil debe fabricar un ladrillo tal que el volumen (medido en centímetros cúbicos) sea igual al doble del área lateral (medida en centímetros cuadrados). Determinar el mínimo valor posible del área lateral del ladrillo.