XVI Olimpíada Provincial de Buenos Aires

Año: 2007

 

 

PRIMER NIVEL.

 

Problema 1.

Decidir si es posible armar un rectángulo de 39 x 44 sin huecos ni superposiciones, usando exclusivamente piezas rectangulares de 5 x 11.

¿Y si el rectángulo que se quiere armar es de 42 x 55? ¿Y si es de 39 x 55?

En cada caso, si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo y en caso contrario, explicar por qué.

ACLARACIÓN: En todos los casos está permitido girar las piezas.

 

Problema 2.

Sea ABC un triángulo tal que A = 72º y B = 12º.

Se marca en el lado AB el punto D tal que ACD = 84º.

Se traza por D la paralela a BC, que corta a AC en L.

Determinar la medida del ángulo BLC.

 

Problema 3.

Se tienen 100 monedas, todas de igual aspecto, entre las que hay monedas falsas. Se sabe que hay al menos una moneda auténtica y al menos una moneda falsa. Todas las monedas auténticas tienen el mismo peso, y todas las falsas tienen igual peso. Las falsas son más livianas que las auténticas. Demostrar que es posible determinar la cantidad de monedas falsas, usando a lo sumo 51 veces una balanza de dos platos.

ACLARACIÓN: En cada pesada, la balanza de platos compara los pesos de los objetos colocados en los platos y establece si el peso de los objetos de un plato es igual, menor o mayor que el peso de los objetos colocados en otro plato.

 

 

SEGUNDO NIVEL.

 

Problema 1.

En el tablero de 4 x 4 se han escrito, en clave, los números naturales desde el 5 al 20 inclusive, sin repetir. La suma de los cuatro números de cada fila es siempre la misma, y la suma de los cuatro números de cada columna es siempre la misma.

Además, el número de la casilla superior izquierda es impar. Cada letra representa un dígito distinto y letras diferentes representan dígitos diferentes. Determinar qué dígito corresponde a cada letra.

                                              

IK	B	IF	II
G	ND	C	IA
IB	K	IC	IN
ID	IG	F	IE

 

Problema 2.

Cinco ciclistas, Axel, Bruno, César, Diego, Eddy corren alrededor de una pista circular. Los cinco salen al mismo tiempo, desde el mismo lugar de la pista y en el mismo sentido, y los cinco se detienen al mismo tiempo cuando están todos nuevamente en un mismo lugar de la pista. Durante la práctica, Eddy pasó 20 veces a Axel, y Diego pasó 10 veces a Bruno. Determinar cuántas veces un ciclista pasó a otro a lo largo del entrenamiento, si se sabe que Eddy es más veloz que Diego, Diego es más veloz que César, César es más veloz que Bruno y Bruno es más veloz que Axel.

 

Problema 3.

Demostrar que para cada entero n ≥ 4, todo triángulo se puede cortar en n triángulos isósceles (no necesariamente iguales).

 

 

TERCER NIVEL

 

Problema 1.

Calcular el valor de la expresión

                       

donde se han multiplicado las 99 fracciones de la forma  para todos los enteros k desde 2 hasta 100 inclusive.

 

Problema 2.

Hay 18 toneladas de mercadería distribuida en paquetes de pesos desconocidos. El número total de paquetes es mayor que 35. La mercadería se debe transportar en 7 camiones que pueden cargar a lo sumo 3 toneladas cada uno. Se sabe que estos 7 camiones pueden transportar, entre los 7 y en un solo viaje, cualquier conjunto de 35 paquetes. Demostrar que los 7 camiones pueden transportar, entre los 7 y en un solo viaje, toda la mercadería.

 

Problema 3.

 

Sea T un triángulo isósceles y rectángulo. Demostrar que T se puede dividir en varios triángulos isósceles y rectángulos todos de distintos tamaños (no congruentes entre si).