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XVII Olimpíada Provincial de Buenos Aires

Año: 2008

 

 

PRIMER NIVEL.

 

Problema 1.

Matías y Rocío leen un libro que tiene 10 capítulos y 120 páginas. Matías lee 2 páginas por día y Rocío lee 3 páginas por día. Pero cada uno de ellos, al llegar al final de un capitulo suspende la lectura hasta el día siguiente.

Todos los capítulos comienzan en una página nueva.

Determinar el menor valor que puede tener la diferencia entre el número de días que usan Rocío y Matías para leer el libro.

Para el valor hallado, justificar porqué es imposible lograr una diferencia menor y dar un ejemplo de libro para el que se logra esa diferencia.

 

Problema 2.

Consideremos el siguiente número decimal D, mayor que 0 y menor que 1:

el primer dígito de D después de la coma es 1;

el segundo dígito de D después de la coma es el dígito de las unidades 12+22;

el tercer dígito de D después de la coma es el dígito de las unidades de 12+22+32;

el cuarto dígito de D después de la coma es el dígito de las unidades de 12+22+32+42;

y así siguiendo, indefinidamente,

es decir, D = 0,154… .

Decidir si existen dos números naturales M y N tales que D = M/N .

Si la respuesta es afirmativa, hallar los números M y N; si es negativa, explicar el porqué.

 

Problema 3.

Se tiene un pentágono de papel ABCDE de lados AB, BC, CD, DE y EA, tal que BC = CD = DE,      y AB = AE. Mostrar que hay dos maneras distintas de dividir el pentágono en tres partes, mediante dos cortes rectos, de modo tal que con los tres pedazos se arma, sin huecos ni superposiciones, un triángulo rectángulo e isósceles. Para cada manera, explicar porqué al reacomodar convenientemente los tres pedazos se obtiene efectivamente un triángulo rectángulo e isósceles.

 

ACLARACIÓN: Dos divisiones en tres pedazos son distintas si hay por lo menos una pieza de las divisiones que no se puede hacer coincidir con ninguna de las tres piezas de la otra división, ni siquiera girándola o dándola vuelta.

 

 

SEGUNDO NIVEL.

 

Problema 1.

Consideremos el conjunto M de los números enteros desde 1 hasta 27 inclusive y sea B un conjunto de números enteros positivos mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 14 tales que todo número de M o bien está en B o bien es la suma de dos números de B (los dos números que se suman pueden ser iguales). Determinar cuál es la menor cantidad posible de números del conjunto B.                                              

 

Problema 2.

En el pizarrón se ha escrito un número natural n de 6 dígitos tal que uno de los dígitos de n es 7 y n es divisible por 9.

Pablo realiza la siguiente operación: intercambia entre sí dos dígitos de n y le resta a n el número obtenido. Repite la operación para cada par de dígitos de n.

Entre las restas que calculo Pablo (y que no son cero) hay al menos una divisible por 2525, al menos una divisible por 2168, al menos una divisible por 4375 y al menos una divisible por 6875. Hallar n.

 

Problema 3.

Sea ABCD en paralelogramo de lados AB, BC, CD, DA, y sean E el punto medio del lado AB, F el punto medio del lado BC y P el punto de intersección de los segmentos CE y DF.

Calcular

                  ,                                           

    y

                    .

 

 

TERCER NIVEL

 

Problema 1.

Nico elige un entero positivo n mayor que 1. A continuación, Gonzalo debe elegir tres enteros distintos, a, b, c mayores que n2 y menores que (n+1)2, tales que a2+b2 sea múltiplo de c.

Demostrar que no importa que número elija Nico, Gonzalo siempre podrá lograr su objetivo.

 

Problema 2.

Para cada número natural n se consideran 2n puntos del plano que son los vértices de un polígono regular de 2n lados. Hay que trazar n segmentos que unan dos de estos puntos de modo que cada uno de los puntos sea extremo de exactamente un segmento y que los n segmentos tengan longitudes distintas.

Determinar todos los valores de n para los cuales esto es posible.

ACLARACIÓN: Está permitido que los segmentos que se trazan se crucen entre si.

 

Problema 3.

Sean A, B y C puntos de una circunferencia de centro O tales que BC es un diámetro y AO es perpendicular a BC.

Se traza por A una recta que corta a la circunferencia en D (D≠B y D≠C) y a la recta BC en E.

La recta tangente a la circunferencia en D y la recta perpendicular a BC por E se cortan en F. Hallar el lugar geométrico de los puntos F al variar las rectas por A.