XII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

Año: 1995

Primer nivel

1. Verónica y su amigo Julio entraron a una librería de Bahía Blanca y compraron por valores enteros diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagar con un billete de $20, pero el dueño no tenía cambio para cobrarle a ninguno de los dos. Entonces Julio ofreció pagarle con un billete de $50 y así pudo darle el vuelto. Al ver esto, Verónica sacó un billete de $50 y el librero pudo cobrarle a ella también. ¿Cuál es el número mínimo de billetes que podía tener el librero cuando llegaron los amigos?
   NOTA: Los billetes en circulación son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1.
2. Escribir en cada vértice de un cuadrado una potencia de 2 y luego, en cada lado y en cada diagonal escribir el producto de los números asignados a sus extremos, de modo tal que la suma de los 10 números escritos sea 3505.
   ACLARACIÓN: Las potencias de 2 son 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, ...
3. En una circunferencia de centro O y radio 1 se marcan los puntos A, B, C y D siguiendo el sentido horario. Si AOB=120^o, BOC=60^o y COD=150^o, calcular el área del cuadrilátero ABCD.

Segundo nivel

1. Escribir en cada casilla de la pirámide un número natural mayor que 1 de modo que:

• La casilla superior tenga escrito el 560105280.

• El número escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas sobre las que está apoyada.

2. Cuatro autos A, B, C y D salen simultáneamente de un mismo punto de una pista circular. A y B van en una dirección, C y D en la dirección contraria. Todos tienen distintas velocidades, pero constantes. A los 5 minutos de la partida, A cruza por primera vez a C y en el mismo instante, B cruza por primera vez a D. A los 83 minutos de la partida, A y B se encuentran por primera vez. ¿Cuánto tiempo transcurre desde la partida hasta que C y D se encuentran por primera vez?

3. Dada una circunferencia C de centro O y una circunferencia C' que pasa por O y corta a C en A y B, sea C (distinto de O) un punto de C' que está en el interior de la circunferencia C. La recta AC corta nuevamente a la circunferencia C en D. Demostrar que CB=CD.

Tercer nivel

1. Tomando como vértices los puntos de intersección de las prolongaciones de los lados de un hexágono regular H₀ se obtiene un nuevo hexágono regular H₁. De la misma manera, a partir de H₁ se construye H₂ y así sucesivamente. ¿Cuál es el primer hexágono H_n cuya área es mayor que 1995 veces el área del hexágono H₀?

2. Consideramos los números enteros de 1 a 1000 inclusive. Sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos pares y sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos impares. ¿Cuál suma es mayor?  ACLARACIÓN: 0 es par.

3. Dados tres puntos no alineados A, B, C, construir una circunferencia con centro en C tal que una de las tangentes trazadas desde A sea paralela a una de las tangentes trazadas desde B. Indicar los pasos de la construcción.