XIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

Año: 1996

Primer nivel

1. Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3 números de 2 cifras cada uno. Se suman entre sí los 3 números de 2 cifras que se formaron. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener mediante este procedimiento?

2. Sea ABCD un paralelogramo tal que el lado BC mide 13, la altura correspondiente a la base AB mide 12 y el ángulo ABC es agudo. Sea E un punto en la prolongación del lado BC tal que el ángulo DEC = 90º. Sabiendo que CE = 5, calcular el área del cuadrilátero ABED.

3. En una fiesta hay 15 mujeres y algunos varones. Primero, cada mujer le regala un alfajor a cada varón conocido, que se lo come de inmediato. Después, cada varón le regala un alfajor a cada mujer desconocida. En total se regalaron 240 alfajores.

Decidir si con esta información es posible determinar el número de varones asistentes a la fiesta.

Si la respuesta es si, hallar el número.

Si la respuesta es no, explicar por que.

ACLARACIÓN: Si A es conocido de B, entonces B es conocido de A.

Segundo nivel

1. Hallar el mayor número natural de 6 cifras, todas distintas de cero, que es múltiplo del número que resulta al borrarle la primera cifra de la izquierda.

2. En el trapecio ABCD, de lados no paralelos AB y CD, sea M el punto medio de CD. Se traza por M la perpendicular a la recta AB, que intersecta a dicha recta en R. Sabiendo que el segmento AB mide 21 y el segmento MR mide 37, hallar el área del trapecio ABCD.

3. Un blanco para practicar tiro esta formado por 30 círculos C1, C2, C3, ... , C30, todos con el mismo centro, y de radios 1, 2, 3, ... , 30, respectivamente. Cada impacto en el blanco asigna tantos puntos como círculos estén perforados por dicho impacto. Por ejemplo, un impacto dentro de C1 asigna 30 puntos, y un impacto dentro de C27 pero fuera de C26 asigna 4 puntos.

Se efectúan 30 disparos que dan en el blanco de modo tal que no haya tres círculos con igual cantidad de impactos, y luego se suman los 30 puntajes obtenidos. Determinar todos los posibles valores de esta suma.

Tercer nivel

1. En el triángulo ABC, el ángulo B = 60o, el ángulo C = 55o y M es el punto medio del lado BC. Sea P en el lado AC tal que el cuadrilátero ABMP y el triángulo PMC tienen igual perímetro. Hallar la medida del ángulo MPC.

2. Si n es un número natural, d(n) es la cantidad de divisores positivos de n.

Por ejemplo, d(12) = 6, pues los divisores son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Hallar todos los números naturales n 200 tales que ( n/d(n) ) = 8.

3. ¿Cuántos números de 15 dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos 3 y 8 son múltiplos de 11?