XVIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

Año: 2001

 

Primer nivel

 

Problema 1

Cintia eligió tres dígitos distintos y distintos de 0, y formó con ellos los seis números de tres cifras distintas. El promedio de estos seis números es un número natural terminado en 5. Hallar los tres dígitos que eligió Cintia. Dar todas las posibilidades.

 

Problema 2

En la Isla Arco Iris, cada habitante tiene uno, dos o tres amigos, y se viste de un color de acuerdo con la cantidad de amigos que tiene: rojo si tiene exactamente un amigo, amarillo si tiene exactamente dos amigos y verde si tiene exactamente tres amigos. Si dos personas son amigas, sus colores son diferentes, y no hay personas vestidas de verde que sean amigas de personas vestidas de amarillo.

Un día, 500 personas cambian su ropa verde por ropa roja, 35 personas cambian su ropa amarilla por ropa roja y al mismo tiempo, 300 personas cambian su ropa roja por ropa verde. Como resultado, en la isla cada persona queda vestida del mismo color que sus amigos. Determinar el número de habitantes que tiene la isla.

 

Problema 3

El cuadrilátero ABCD de lados AB, BC, CD y DA tiene AB = CD, <AEC = 100° y

<BCD = 115°. La mediatriz del lado AD intersecta a la mediatriz del lado BC en el punto M. Calcular la medida del ángulo BMC.

ACLARACIÓN: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, trazada por su punto medio.

 

Segundo nivel

 

Problema 1

Se escribe la lista de todos los números naturales de cuatro dígitos, con todos los dígitos distintos de 0, tales que en cada número la diferencia entre el mayor de sus dígitos y el menor de sus dígitos es menor o igual que 2. Determinar la cantidad de números de cuatro dígitos que tiene la lista.

 

Problema 2

Sea ABCD un rombo de lados AB, BC, CD y DA, tal que <AEC > 90°. La perpendicular a DA trazada desde B corta al lado DA en E y la perpendicular a CD trazada desde B corta al lado CD en F. Se sabe que BE = BF = 6 y EF = 7,2. Calcular el área del rombo ABCD.

 

Problema 3

Las tres atletas Lucía, María y Nadia corrieron 20 carreras y anotaron cada vez cuál llegó primera, cuál segunda y cuál tercera. Nunca hubo puestos empatados. La cantidad de veces que Lucía llegó antes que María es 12. La cantidad de veces que María llegó antes que Nadia es 11. La cantidad de veces que Nadia llegó antes que Lucía es 14. Se sabe además que ocurrieron todos los ordenamientos posibles de las tres atletas. Determinar cuántas carreras ganó cada una de las atletas.

 

Tercer nivel

 

Problema 1

Tres personas A, B y C tenían inicialmente igual cantidad de dinero. Se sortearon tres números enteros del 3 al 30, a, b y c, (no necesariamente distintos). En el primer tumo A le dio a B una cantidad de dinero igual a 1/a del dinero que B tenía en ese momento, y A le dio a C una cantidad de dinero igual a 1/a del dinero que C tenía en ese momento. En el segundo tumo B le dio a A una cantidad de dinero igual a 1/b del dinero que A tenía en ese momento, y B le dio a C una cantidad de dinero igual a 1/b del dinero que C tenía en ese momento. En el tercer turno C le dio a A una cantidad de dinero igual a 1/c del dinero que A tenía en ese momento, y C le dio a B una cantidad de dinero igual a 1/c del dinero que B tenía en ese momento.

Se sabe que el número c es igual a 15 y que las tres personas finalizaron con igual cantidad de dinero. Hallar los números a y b.

 

Problema 2

Dado un número natural n, se denota P(n) al producto de todos los divisores positivos de n, incluidos 1 y n. Por ejemplo, P(12) = 1. 2 . 3 . 4 . 6 . 12 = 1728.

Hallar todos los números naturales n menores que 400 tales que n tiene exactamente dos divisores primos distintos y P(n) = n^{6 .}

 

Problema 3

Sea ABC un triángulo rectángulo con <ABC = 90°, BC = 72 y AC = 78. Se considera D en el lado AB tal que 2AD = BD. Si O es el centro de la circunferencia que es tangente al lado BC y pasa por A y D, calcular la medida de OB.