PROBLEMAS
REGIONAL OMA 2003
Primer
Nivel
1) Julián y Luciano tienen casillas postales en el mismo correo. En ese
correo hay 100 casillas en cada fila, y las casillas están numeradas en forma
consecutiva, en la primera fila de 1 a 100, en la segunda fila de 101 a 200, en
la tercera fila de 201 a 300, etc.
El número de la fila de la casilla de Julián es igual al número de la casilla
de Luciano. Además, la suma de los números de las casillas de Julián y
Luciano es 3000.
Hallar el número de la casilla de Julián.
2) Leandro hizo la lista de todos los números
enteros positivos menores que 20022003 que utilizan exclusivamente los dígitos
0, 1, 2 y 3. Calcular cuántos números tiene la lista de Leandro.
Aclaración: la lista de Leandro tiene también los números que usan algunos
pero no todos los dígitos 0, 1, 2 y 3
3)
Sea ABCD un cuadrilátero convexo de área 21, y O el punto de intersección de
sus diagonales, tal que su área (ABO) = 7. La paralela a BD trazada por A corta
a la paralela a AC trazada por B en M. Calcular área (CDM).
Aclaración: un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores miden
menos de 180°.
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Segundo
Nivel
1) En el pizarrón hay escritos cuatro enteros positivos. Si se
seleccionan tres de ellos, se calcula el promedio y se le suma el cuarto número
se obtienen los números 89; 95; 101 y 117. Hallar los cuatro números del
pizarrón.
2) Se escribe una sucesión de números naturales con la siguiente regla:
se eligen los dos primeros números y a partir de entonces, para escribir un
nuevo número, se calcula la suma de los últimos dos números escritos, se
halla el mayor divisor impar de esta suma y la suma de este mayor divisor impar
más 1 es el siguiente número escrito.
Los primeros dos números son 25 y 126 (en ese orden), y la sucesión tiene 2003
números. Hallar el último número escrito.
3) Sea ABC un triángulo con AB = 17, BC = 24 y AC = 26. Consideramos L
en el lado BC tal que AL es la bisectriz del ángulo A, y P en el segmento AL
tal que BP es perpendicular a AL. Se traza por P la paralela al lado AC, que
corta al lado AB en D y al lado BC en E. Calcular BD.
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