Regional 2007

XXIV Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

Año: 2007

PRIMER NIVEL

1. Sobre una mesa hay cuatro cajas, numeradas de 1 a 4, y cada una de ellas contiene bolitas rojas y bolitas azules.

Se sabe que la proporción entre las bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 es mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3, y que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 2 es mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 4.

Se pasan todas las bolitas de la caja 2 a la caja 1 y todas las bolitas de la caja 4 a la caja 3 (las cajas 2 y 4 quedan vacías).

Determinar si, en la nueva situación, es posible que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 sea menor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3.

ACLARACIÓN: Si una caja tiene r bolitas rojas y a bolitas azules, la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en esa caja es el número r/a



2. Franco hizo la lista de todos los enteros positivos N de cinco dígitos que son múltiplos de 5 y que tienen simultáneamente las siguientes dos propiedades:

¨      Todos los dígitos de N son impares

¨      N/5 también tiene cinco dígitos, y todos los dígitos de N/5 son impares.

Determinar cuántos números tiene la lista de Franco.

3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC y A = 30° . Sea D el punto medio de la base BC. Se consideran un punto P en el segmento AD y un punto Q en el lado AB tales que

PB = PQ.

Calcular la medida del ángulo PQC.

SEGUNDO NIVEL

1. En una circunferencia se marcaron 108 puntos que dividen a la circunferencia en 108 arcos iguales. Comenzando en uno de estos puntos, y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Nico escribió un número al lado de cada punto marcado. De este modo quedaron escritos 108 números alrededor de la circunferencia (puede haber números repetidos). La suma de 20 números ubicados en puntos consecutivos de la circunferencia es siempre igual a 1000. El primer número que escribió Nico es el 1. En el lugar 19 escribió el número 19 y en el lugar 50 escribió el número 50.

Determinar el número que Nico escribió en el lugar 100.

2. En una olimpíada de matemática los participantes tenían que escribir un número entero positivo en cada casilla de un tablero de 3 x 3 de modo que en cada fila y en cada columna, la multiplicación de los tres números sea igual a 120. Estaba permitido repetir números. Resultó que todos los participantes resolvieron correctamente el problema, pero todos obtuvieron una respuesta diferente.

Determinar cuál es el máximo número de participantes que pudo haber en esa olimpíada.

3. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB = CD = 65 y BC = AD = 156. Se traza la circunferencia de centro A que pasa por C. La recta BD corta a la circunferencia en E y F. Calcular la longitud del segmento EF.

TERCER NIVEL

1. S el resultado de sumar los números enteros con todos los dígitos iguales a 6 desde el de un dígito hasta el de 2007 dígitos: S = 6+66+666+6666+.........

Determinar los dígitos de S.

2. Sea ABC un triángulo tal que A = 45° y C = 30°. Sea D el punto medio del lado BC. Calcular la medida del ángulo CAD.

3. Un extraño país tiene exclusivamente monedas de 10, de 11 y de 12 centavos. Un entero N se dice aceptable si es posible pagar exactamente N centavos (sin necesidad de vuelto) con al menos tres cantidades diferentes de monedas. Por ejemplo, 120 es aceptable porque se puede pagar con 10 , 11 y 12 monedas (10 monedas de 12 centavos, 12 monedas de 10 centavos; 8 monedas de 11 centavos más una de 12 centavos más 2 de 10 centavos). En cambio, 14 no es aceptable, porque no hay ninguna cantidad de monedas con la que se pueda pagar 14; 24 no es aceptable, porque solo hay una cantidad con la que se puede pagar 24: 2 monedas (de 12 centavos cada una) ; 60 tampoco es aceptable, porque sólo hay dos cantidades de monedas con las que se puede pagar 60: 5 monedas y 6 monedas (5 de 12 centavos o 6 de 10 centavos)

Determinar el mayor número que no es aceptable.