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SEGUNDO
PRETORNEO 2005 JUVENIL 1.
Alan y Lucía, que viven en la misma
calle, salen en el mismo instante, cada uno de su casa hacia la del otro,
caminando a velocidades constantes (pero no necesariamente iguales) hasta que se
encuentran en un punto C. Si Alan hubiese salido 30 minutos antes, se habrían
encontrado 2 km más cerca de la casa de Lucía que el punto C. Si, en cambio,
Lucía hubiese salido 30 minutos antes, se habrían encontrado a cierta
distancia x más cerca de la casa de
Alan que el punto C. Calcular el valor de x. 4 PUNTOS 2.
Gonzalo tiene que hallar un número
natural que no tenga ninguno de los dígitos 1, 2 y 9, y además, que 3n
(el número 3 por n) tampoco tenga ninguno de los dígitos 1, 2 y 9. Demostrar que la
tarea de Gonzalo es imposible. 5 PUNTOS 3.
En un tablero de ajedrez de 8x8 hay 8
damas negras en la primera fila y 8 damas blancas en la última fila. Las damas
se mueven de a una por vez, tantas casillas como se quiera, mientras no se
interponga otra dama, en una sola dirección que puede ser horizontal, vertical
o diagonal. Las blancas y las negras se mueven alternadamente. Determinar el mínimo
número de movidas que se requieren para intercambiar las damas negras con las
blancas y queden las 8 blancas en la primera fila y las 8 negras en la última
fila. 5 PUNTOS 4.
En una gran ciudad, todas las calles
son de doble mano, pero tienen solo dos direcciones posibles (Sur Norte o Este
Oeste). Durante un paseo en auto por la ciudad, no se ha pasado dos veces por un
mismo lugar y se regresó al punto de partida. Se realizaron 100 giros hacia la
izquierda. Determinar cuántos giros a la derecha se deben haber dado. (Dar
todas las posibilidades). 5 PUNTOS SEGUNDO PRETORNEO 2005MAYOR 1.
En un tablero de ajedrez de 8x8 hay 8
damas negras en la primera fila y 8 damas blancas en la última fila. Las damas
se mueven de a una por vez, tantas casillas como se quiera, mientras no se
interponga otra dama, en una sola dirección que puede ser horizontal, vertical
o diagonal. Las blancas y las negras se mueven alternadamente. Determinar el mínimo
número de movidas que se requieren para intercambiar las damas negras con las
blancas y queden las 8 blancas en la primera fila y las 8 negras en la última
fila. 4 PUNTOS 2.
Se escriben los enteros positivos, uno
a continuación del otro, sin separaciones, en una cinta infinita:
1234567891011121314.... A continuación la cinta se corta en tiras de siete dígitos
cada una. Demostrar que cada entero de siete dígitos aparece en al menos una
tira. 5 PUNTOS 3.
Sean M y N los puntos medios de los
lados BC y AD, respectivamente, de un cuadrado ABCD. Se considera un punto
arbitrario K en la prolongación de la diagonal CA (A queda entre C y K). El
segmento KM corta al lado AB en el punto L. Demostrar que KNA=LNA. 5 PUNTOS 4.
En el mismo plano coordenado se han
graficado cuatro funciones de la forma y=x²+ax+b.
Estos gráficos tienen en total exactamente cuatro puntos de intersección, y en
cada punto de intersección se cortan exactamente dos de esos gráficos.
Consideramos la coordenada x cada
punto de intersección. Demostrar que la suma del mayor y el menor es igual a la
suma de los otros dos. 5 PUNTOS |