XIV Olimpíada Matemática Argentina

Certamen Zonal

Año: 1997

Primer nivel

1. Hallar todos los números naturales de cuatro cifras "abcd" tales que

"ab" + "cd" = "bc"  y  b - c = d

Aclaración: "ab" es un número de dos cifras, la primera es a y la segunda b.

2. Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática. Por cada problema se obtiene un punto si está bien resuelto y cero punto en cualquier otro caso. Entre los cinco sumaron 73 puntos. Hay 9 puntos de diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 7 puntos de diferencia entre Beatriz y Carlos, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 6 puntos de diferencia entre Carlos y Dora, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 13 puntos de diferencia entre Dora y Eduardo, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 23 puntos de diferencia entre Eduardo y Ana, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje. ¿Cuántos puntos obtuvo cada participante?

3. Una hoja de papel rectangular se divide mediante un solo corte en un triángulo y un pentágono. Las longitudes de los lados del pentágono son 17, 25, 28, 33 y 43, en algún orden. Calcular el área del pentágono.

 

Segundo nivel

1. Hallar todos los números naturales n menores que 1000 tales que n2 termina en 44, es decir, n2 tiene sus dos últimas cifras iguales a 4.

2. Consideramos todos los números naturales de cuatro cifras distintas que tienen las cifras ordenadas de menor a mayor, como por ejemplo 2569.

Si hacemos la lista de todos estos números, ordenados de menor a mayor, ¿cuál es el número de cuatro cifras que ocupa la posición 97a?

3. Sea ABC un triángulo obtusángulo con A < C < B. La bisectriz exterior del ángulo A intersecta a la prolongación del lado CB en X y la bisectriz exterior del ángulo B intersecta a la prolongación del lado AC en Y. Si AX = AB = BY, calcular la medida del ángulo A.

 

Tercer nivel

1. Sean a y b números reales distintos tales que 2a2 + 2b2 = 5ab. Hallar todos los posibles valores de (a+b)/(a-b).

2. ¿Cuántos números entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en suma de un múltiplo positivo de 7 más un múltiplo positivo de 4?

3. Sean A, B, C, D puntos de una circunferencia tales que AB es perpendicular a CD y sea P el punto de intersección de AB y CD. Si AP = 8, DP = 6, CP = 15, calcular el diámetro de la circunferencia.