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ZONAL OMA 2006

 

Primer nivel:


1) En el pizarrón se escriben los números enteros positivos impares desde 1 hasta 47, uno a continuación del otro, sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de 43 dígitos (el primero es 1 y el último es 7):
              135791113.....4547
Hay que borrar 33 dígitos de modo que los 10 dígitos que queden escritos, leídos de izquierda a derecha, formen el mayor número de 10 dígitos posible.
Determinar cuál es el número que quedará escrito en el pizarrón.

2) Un auto viaja de A a B a velocidad constante. A las 8 de la mañana ha recorrido exactamente la tercera parte del camino entre A y B, y a las 12 del mediodía lleva recorrdio, en total, las 3/5 partes del camino entre A y B. Determinar a qué hora ha recorrido exactamente la mitad del camino entre A y B.

3) Se tiene un triángulo ABC y un punto interior P tal que AP = BC,  PBC = PCB y PAC = PCA = 20º .
Calcular los ángulos del triángulo ABC.

 

Segundo nivel:


1) Hallar los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías para obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.

Es un cuadrado de 3 por 3, en la primera casilla hay un 1, en la segunda (de la primera fila hay un -1/2) (menos un medio) y en la novena casilla, un 3.

2) Ana, Beto, Ceci, Dany y Eva tienen entre los cinco 80 monedas de un peso.
La cantidad de monedas que tienen en conjunto Beto y Dany es igual a la quinta parte de las que tienen, en conjunto, Ana y Ceci.
La cantidad de monedas que tienen en conjunto Ceci y Dany es igual a 6 veces las que tienen, en conjunto, Ana y Beto.
Determinar cuántas monedas tiene cada uno si se sabe que Beto tiene 2 monedas más que Ana.

3) Sean P y Q puntos del plano tales que PQ = 65. La circunferencia de centro Q y radio 25 corta al segmento PQ en A.
La recta perpendicular a PQ trazada por A corta a la circunferencia de centro P y radio 41 en los puntos B y C.
Calcular la medida del segmento BC.

 

Tercer nivel:


1) Nacho escribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2:
        101, 103, 105, ...
Nico escribiíó una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10:
        5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.

2) Si a, b son números tales que
a + b = 35
a/b + b/a = 17/4
Calcular el producto ab.

3) Sea ABC un triángulo rectángulo con AB = 20, AC = 21 y BC = 29. Sean D y E puntos del lado BC tales que BD = 8 y EC = 9. Calcular la medida del ángulo DAE.