Primer
Pretorneo 2004
Juvenil
1-
Una caja de cerrada de 3 x 4 x 5 de 6 caras: dos de 3 x 4, dos de 3 x 5
y dos de 4 x 5. Se dividen todas sus caras en cuadraditos de 1 x 1. Hay que
escribir un número en cada cuadradito de manera tal que cada vez se considere
una franja de ancho 1 alrededor de la caja, la suma de los números de la franja
sea igual a 120. (Se pueden repetir números).
4
PUNTOS
2-
Nicolás tiene que marcar n
puntos en el plano, de modo que no haya tres alineados, trazar todos los
segmentos que unan dos de esos puntos, y luego colorear algunos de azul y los
demás de rojo para que todos los segmentos azules formen un único camino sin
entrecruzamientos, y lo mismo ocurra con todos los segmentos rojos. (Puede ser
que de alguno de los colores no haya ningún segmento.) Determinar para qué
valores de n puede Nicolás realizar
la tarea. Para esos valores, dar una distribución de los puntos e indicar cómo
se colorean. Explicar por qué la tarea es imposible para los demás valores de n.
ACLARACIÓN: No se
cruzan azul con azul o rojo con rojo, pero pueden cruzarse azul con rojo.
5
PUNTOS
sean A, B, C, D puntos exteriores al cuadrado tales que
EAF = FBG = GCH = HDE = 90º.
Demostrar que el área del cuadrilátero ABCD
es menor o igual que 2.
5
PUNTOS
4-
Se tienen un tablero de 1 x n,
con n _> 25, dividido en n
casillas de 1 x 1. En cada una de las primeras 25 casillas (empezando de la
izquierda) hay una ficha, y las 25 fichas están numeradas del 1 al 25, de
izquierda a derecha. Las fichas se mueven exclusivamente hacia la derecha. Puede
moverse a la casilla vecina, siempre y cuando esté libre, o saltar sobre la
casilla vecina, siempre que ésta esté ocupada y la siguiente libre, y ocupar
dicha casilla libre. Determinar el menor valor de n
tal que todas las fichas se pueden mover de modo tal que al finalizar ocupen
nuevamente 25 casillas consecutivas (en algún lugar del tablero) pero estén
numeradas de 25 a 1 (en orden decreciente, de izquierda a derecha).
5
PUNTOS